ZAREGISTRUJ SA!

login:
heslo:
vyberte si:

fóra [pravidlá]

zaujímavé odkazy

publikovať článok

vyhľadávanie na stránke



Putnici.sk na FACEBOOKu


Stránky Dr. Jesenského  

prihlásení užívatelia

aktívni za posl. 5 min.

poč. registrovaných užívateľov:43857

V tejto chvíli prezerá stránku 0 registrovaných užívateľov 124 anonymných užívateľov.

Vítame nového registrovaného užívateľa: Larryhaw

výstupy
Ak chcete na vašej stránke zverejňovať zoznam správ z našej stránky môžete použiť tento výstup, alebo viac podrobný výstup.
XML/RSS.



Od králikov ku hviezdam
@ alternatívne vedy     13.8. 06, 03:05

Mnohí z nás si predstavujú cestu k poznaniu skrytých vecí ako ľahkú a príjemnú. Skúsenosť vekov zachytená v latinských sentenciách nám však hovorí niečo iné: „Ťažkosťami (či hrboľatou cestou) ku hviezdam“ - per aspera ad astra. Takouto pre niektorých zdanlivo len ťažko prekonateľnou prekážkou môže byť tá trocha matematiky, ktorá sa niekedy objavuje v ezoterických úvahách. Sú to predovšetkým úvahy na rôzne astrologické témy, ale týkajú sa aj možného dešifrovania stredovekého symbolizmu. O niečo podobné sa pokúsim aj v tomto článku. Bude v ňom možno trochu viac počtárskej špekulácie, než je čitateľ Pútnikov zvyknutý, ale už Pythagorovi (z odkazu ktorého čerpal nielen Platón, ale aj celá západná ezoterika) bolo jasné, že číslo a číselný vzťah je podstatným prvkom idey kozmu - vesmírneho poriadku. Preto sa na tomto mieste pokúsim o prerozprávanie jednej tradičnej analógie, ktorá vedie od množiacich sa králikov na ostrove cez gotickú katedrálu k hviezdam, presnejšie k planétam obiehajúcim okolo Slnka. Táto analógia má jedného spoločného menovateľa: zlatý rez. Nuž poďme teda od králikov ku hviezdam!

Zlatý rez a „antická Barbie“
Podľa prastarej predstavy, ktorá má oporu aj v Biblii (viď predchádzajúce články o slnovrate v katedrále), je chrám obrazom ľudskej duše, ale zároveň aj kozmu. Vzájomná korešpondencia medzi človekom (mikrokozmom) a Vesmírom (makrokozmom) sa v chráme vyjadrovala rôznymi spôsobmi. Jedným z nich je hojné využívanie zvláštneho, oku lahodiaceho pomeru dĺžok, ktorému hovoríme zlatý rez (sectio aurea, ale aj proportio divina - božský pomer). Tento pomer dĺžok je dôležitý už v antickom sochárstve. Sochy, ktoré ho dodržiavajú, na nás pôsobia dojmom pokojnej harmónie a vznešenosti. Zlatý rez si osvojila a hojne využívala aj gotika. O čo však vlastne ide?

Predstavme si nejakú úsečku, napríklad rovnú žrď. Rozdeľme ju na dve nerovnako dlhé časti - dlhšiu a kratšiu - tak, aby pomer dĺžok kratšej a dlhšej časti bol rovnaký ako pomer dĺžok dlhšej časti a celku. Inak povedané: predstavme si, že máme sochu vysokú 233 centimetrov (prečo práve takéto „nešikovné“ číslo, to si povieme neskôr v tomto článku). V akej výške by antický sochár umiestnil pupok tejto sochy? Mýlili by sme sa, keby sme si mysleli, že by sa v tomto opieral o nejaké merania živých ľudí, hoci aj v danej dobe považovaných za „pekných“. Umiestnenie pupka sa riadilo pravidlom zlatého rezu. Bol by teda 144 centimetrov nad zemou. Na hornú časť tela by pripadalo zvyšných 89 centimetrov. Napadne nás pri tom možno jedna vec: Stvárnenie človeka s takto dlhými nohami sa nám ihneď v povedomí spojí s predstavou krásnej, ušľachtilej, ideálnej postavy (ktorej pokleslou komerčnou podobou je bábika Barbie, nočná mora feministiek).

Pozrime sa teraz na tieto proporcie s kalkulačkou v ruke. Podľa nášho predpokladu, ak označíme výšku sochy písmenom L, dlhšiu časť ako D a kratšiu ako K, potom vidíme nasledujúce veci:

L = K + D

- pretože dĺžky D a K vznikli rozdelením L na dve nerovnako dlhé časti a

K/D = D/L

– pravidlo zlatého rezu, z ktorého vyplýva:

(K/D)×L = D

Dosaďme si namiesto týchto písmen naše čísla:

233 = 89 + 144

(89/144)×233 = 144,006944

Vidíme, že výsledok sa len nepatrne líši od 144, teda od hľadaného čísla. Naše rozdelenie výšky sochy na dolnú - dlhšiu a hornú - kratšiu časť teda naozaj dobre zodpovedá zlatému rezu. Pokiaľ by sme tieto dĺžky udávali v centimetroch, tak by sa nami určené hodnoty líšili od teoretických o necelú desatinu milimetra, čo je dĺžka, ktorú neodmeriame žiadnym normálnym pravítkom. Ak by sme použili väčšie čísla, napríklad celkovú výšku 2584 cm (teda necelých 26 metrov), ktorú by sme delili na 1597 cm a 987 cm, tak by rozdiel medzi takto dosiahnutým a ideálnym zlatým rezom bol len 0,0006262 cm, teda len asi 6 mikrometrov. Vidíme teda, že oba naše zvolené príklady výborne zodpovedajú zlatému rezu. Nuž ale dobre. Ostáva nám už len maličkosť, a to prísť na to, odkiaľ sa tieto čudesné čísla vzali a ako ich nájsť. Isteže, najjednoduchším spôsobom v dnešnej dobe je spojiť si obe napísané rovnosti do jednej rovnice a tú vyriešiť. Nahraďme si teraz písmenko D písmenom „x“, ktoré v rovniciach známych zo strednej školy označuje hľadanú neznámu. Naším cieľom je vyjadriť toto „x“ v závislosti od celkovej dĺžky L. Naše rovnice si môžeme prepísať do tejto podoby:

L = x + (L - x)

v nej výraz (L - x) zastupuje naše K. Druhá rovnica potom vyzerá takto:

(L - x)/ x = x/L

Nebudeme tu opisovať celý postup riešenia tejto rovnice. Kto chce, môže to veľmi jednoducho urobiť sám. Výsledok však je (pre kladné čísla, keďže hovoríme o dĺžkach)

x = L. (√5 - 1)/2

približne to zodpovedá hodnote x = L.0,618, nie však celkom presne, pretože sa tam nachádza druhá odmocnina z piatich. Inak povedané, zlatý rez delí úsečku v pomere, ktorý sa nachádza niekde medzi tromi pätinami a dvomi tretinami. Je tu však jeden malý háčik. Na výpočet tohto čísla sme potrebovali vedieť vyriešiť takzvanú kvadratickú rovnicu (lebo v nej vystupuje druhá mocnina neznámej). Takéto rovnice však v stredoveku ešte nevedeli riešiť (napriek tomu, že samotný pojem druhej mocniny - a tiež odmocniny - zaviedli do gréckej matematiky už Pythagorovci). V riešení, ako sa k dĺžkam zodpovedajúcim zlatému rezu dostať, nám pomôžu králiky.

Fibonacciho králiky
V stredovekom Taliansku žil jeden bystrý pán, ktorý sa volal Leonardo z Pisy zvaný Fibonacci (asi 1170 - asi 1240). Tento pán sa zaoberal matematikou a napísal knihu Liber Abaci (Kniha o počítadle), ktorá vyšla v roku 1202. Okrem toho, že v nej zoznámil stredoveký Západ s arabskou a indickou matematikou, uviedol v nej takúto možno na prvý pohľad smiešnu úlohu:

Predstavme si ostrov, na ktorý umiestnime jeden pár králikov. Vieme, že králiky sa množia rýchlo, ale vieme tiež, že na to, aby pohlavne dozreli a mohli sa množiť, potrebujú plné 2 mesiace. Od toho okamihu budú prinášať každý mesiac jeden ďalší pár (samčeka a samičku) králikov. (Isteže, v prírode to nepostupuje celkom takto jednoducho, ale to teraz necháme bokom). Otázkou je, koľko bude na ostrove párov králikov po troch, štyroch, piatich atď. mesiacoch? (Prijmeme ďalšie zjednodušenie, a to, že králiky nebudú hynúť).

Prvý mesiac je to jasné, králiky budú dva, teda bude tam jeden pár. Druhý mesiac bude stále len jeden pár, pretože králiky ešte nedozreli do veku, kedy sa môžu množiť. V treťom mesiaci sa nám to však začne komplikovať. Budeme mať jeden pár králikov, ktorí sa môžu množiť, a pribudne nám od nich jeden ďalší pár. Na konci tretieho mesiaca teda budú na ostrove dva páry králikov. Čo sa bude diať ďalej?

Štvrý mesiac: Jeden pár zatiaľ neplodných králikov bude žiť ďalej a na konci dosiahne vek dva mesiace. Jeden pár plodných králikov privedie na svet ďalší pár, na ostrove teda budú dovedna tri páry králikov.

Piaty mesiac: Pôvodný pár králikov sa opäť rozmnoží. K nim sa však pripojí jeden pár králikov, ktorý medzitým dozrie do veku 2 mesiace. Plodné páry teda budú dva, neplodný bude zatiaľ jeden. Plodné páry sa rozmnožia, takže od nich pribudnú ďalšie dva páry (zatiaľ neplodných) králikov. Dovedna ich teda bude päť.

Šiesty mesiac: V šiestom mesiaci budeme mať dva plodné páry z predchádzajúceho mesiaca, k nim sa pridá jeden, ktorý medzitým dospel do veku pohlavnej zrelosti. Budeme mať teda dovedna tri plodné páry. Neplodné páry budú jednak dva z predchádzajúceho mesiaca, jednak tri od troch plodných párov. Dovedna teda budeme mať tri plodné a päť neplodných párov, čiže celkove osem párov králikov na ostrove.

Takto môžeme pokračovať ďalej, pričom najlepšie bude, ak si tieto Fibonacciho králiky zakreslíme do tabuľky, v ktorej riadky budú znamenať mesiace a dva stĺpce budú znamenať plodné a neplodné králiky. Ak si to nakreslíme v takomto tvare (pozri obrázok), potom rýchlo prídeme na to, že počet králikov v niektorom mesiaci sa rovná súčtu počtov králikov predchádzajúcich dvoch mesiacov.

Ak sa pozrieme na posledné napísané riadky presnejšie a doplníme to pozorným preskúmaním priloženej tabuľky, tak rýchlo prídeme na to, ako nájsť každé ďalšie Fibonacciho číslo (čiže každý ďalší počet králikov). Počet Fibonacciho králikov v každom jednotlivom mesiaci sa totiž rovná súčtu počtov králikov z dvoch predchádzajúcich mesiacov.

Postupnosť, ktorú priniesol Leonardo Pisanus zvaný Fibonacci, teda vyzerá takto:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

- každé ďalšie číslo je súčtom predchádzajúcich dvoch.

Ak by sme sa pokúsili nájsť všeobecný vzorec, ako počítať Fibonacciho čísla, tak by sme dostali postupnosť, v ktorej je obsiahnutý výpočet druhej odmocniny z piatich. Čím vyššie totiž vystúpime po pomyselnom Fibonacciho rebríku, tým viac sa bude pomer dvoch za sebou nasledujúcich Fibonacciho čísel podobať zlatému rezu.

Fibonacciho čísla - jeden z modelov prírody
Vráťme sa však naspäť ku katedrále ako k modelu sveta. Zlatý rez a Fibonacciho čísla získané na základe spomenutej, až naivne smiešnej úlohy o množiacich sa králikoch na pustom ostrove, totiž majú aj iný zmysel. Až podozrivo často sa totiž objavujú v prírode. Zamerajme sa v prvom rade na Fibonacciho čísla. Všetci vieme, že počet okvetných lístkov nejakého kvetu býva 5 alebo „viac“. Tí, ktorí sa tomu venovali dôkladnejšie, zistili, že počet okvetných lístkov nejakého kvetu býva Fibonacciho číslo. Zaujímavejšie je to však pri súkvetiach. Vieme, že súkvetia sú zložené z mnohých maličkých, nenápadných kvetov. Napríklad slnečnica sa skladá z množstva drobných kvetov usporiadaných na „tanieri“. Keď tieto kvety dozrejú, na ich mieste sa objavia jadierka slnečnice. To je samo o sebe malý zázrak, pozrime sa však ďalej:

Zo stredu „kvetu“ (vlastne súkvetia) slnečnice vychádza niekoľko špirál, pozdĺž ktorých sú usporiadané jednotlivé drobné kvety (súčasti súkvetia). Niekoľko ich smeruje v smere hodinových ručičiek a iné zas opačne. Zaujímavé je, že počet týchto špirál nie je ľubovoľný. Naopak. Ich počet sa riadi Fibonacciho postupnosťou, a to s takmer tvrdohlavou spoľahlivosťou. To znamená, že buď ich je 8, alebo 13, alebo 5, ale len skutočne zriedkakedy 7 alebo 12. Okrem toho, v jednom kvete sa spravidla objavujú oba smery špirál: v smere aj proti smeru hodinových ručičiek. Ich počet býva spravidla rôzny. Keď je jedných 8, druhých bude 13 apod. - príroda nemá rada symetriu. Možno aj preto sa človeku viac páči postava, ktorá má dlhšie nohy než trup.

No nielen počty špirál, ale aj uhly pútajú pozornosť ľudského oka. V prírode sa pomerne často vyskytuje stav, keď dva kvety v súkvetí alebo dva lístky v zloženom liste (alebo dva konáre navzájom) zvierajú tzv. zlatý uhol (angulus auraeus). Čo to je? Predstavili sme si zlatý rez ako rozdelenie úsečky. Lenže to isté môžeme uskutočniť aj v prípade uhlov. Ak kruh zodpovedá 360°, potom „zlatý uhol“, ktorý rozdeľuje kruh podobným spôsobom ako zlatý rez úsečku, má veľkosť približne 137,5° (viď obrázok). Tento uhol sa veľmi často objavuje v prírode, najmä v rastlinnej ríši. Preniesol sa však aj do výtvarného umenia a architektúry.

Ďalším a z hľadiska architektúry katedrál veľmi zaujímavým prejavom Fibonacciho postupnosti sú obežné doby planét okolo Slnka a ich rýchlosti. Oddávna sa vedelo, že obežné doby viacerých planét a ich mesiacov sú v pomere malých celých čísel. Napríklad pomer obežnej doby Jupitera a Saturna je 2:5; dajú sa však nájsť aj ďalšie takéto pomery.

Všimnime si však rýchlosti pohybu planét v ich významných okamihoch (v perihéliu a aféliu, teda v okamihu, keď sú najbližšie a najďalej od Slnka). Z Keplerových zákonov pohybu planét vieme presne vypočítať, aké budú tieto rýchlosti veľké. Háčik je v tom, že Johannes Kepler objavil svoje zákony až podstatne neskôr po objave Fibonaciho čísel. Čo nám však prezrádzajú namerané údaje rýchlostí?

Pozrime sa na tabuľku:

Planéta v aféliu Planéta v perihéliu Pomer Interval v hudbe
Saturn Jupiter 1:3 Oktáva + kvinta
Jupiter Saturn 2:1 Oktáva
Jupiter Mars 1:8 Tri oktávy
Mars Jupiter 24:5 = 3*8:5 Dve oktávy + malá tercia
Mars Zem 5:12 = 5:(3*22) Oktáva + malá tercia
Zem Mars 3:2 Kvinta
Zem Venuša 3:5 Veľká sexta
Venuša Zem 8:5 Malá sexta
Venuša Merkúr 1:4 = 1:22 Dve oktávy
Merkúr Venuša 5:3 Veľká sexta




V tejto tabuľke sú zachytené nielen pomery obežných rýchlostí planét vo dvoch významných okamihoch, ale aj ich vzťahy k hudobným intervalom, ktoré sú základom európskej hudby. Na tieto vzťahy síce podľa všetkého neprišli stredovekí stavitelia katedrál, ale odhalil a opísal ich Johannes Kepler v diele „Harmonices Mundi“ v roku 1619. Bol zjavne ovplyvnený pythagorejskou teóriou hudobných intervalov, ako aj vlastnými objavmi matematických zákonitostí obehov planét v slnečnej sústave. Jeho „hudba sfér“ však výborne zapadá do ďalších oblastí, v ktorých sa objavuje poriadok opísaný stredovekým matematikom Fibonaccim. Náhoda či vznešená dômyselnosť plánu vesmíru?

Záver
Je snáď možné vysvetliť prítomnosť pomerov zodpovedajúcim Fibonacciho číslam a zlatému rezu v botanike. Takto usporiadané kvety, listy apod. totiž najlepšie využívajú plochu dopadajúceho slnečného svetla. Ale prečo sa tieto pomery objavujú aj v iných, zdanlivo úplne nesúvisiacich oblastiach (napr. v prípade obehov planét a v hudbe)? Ide snáď o nejaký skrytý poriadok prírody, ktorý naši predkovia objavili a zachovali v podobe umeleckých diel a vedeckých pojednaní? Alebo je to len prostá hra s číslami, akých je možné vymyslieť hocikoľko? Vieme, že zlatý rez sám bol známy už antickým geometrom a staviteľom; napokon, chce to len trochu dôvtipu, aby ho človek vedel zostrojiť pomocou pravítka a kružidla. Fibonacciho čísla dávno pred Leonardom z Pisy objavili indickí matematici. Ale európski stredovekí učenci spojili tieto dve navzájom izolované veci dovedna a rozvíjali ďalšie objavy v tomto smere. Či si tieto súvislosti uvedomovali aj stavitelia katedrál, to nevieme. Nevieme ani to, či takto chceli skutočne zašifrovať niektoré z poznatkov, ktoré v tej dobe nemali byť dostupné každému. Ale fantázia historika kladúceho otázky minulým generáciám dráždi a provokuje. Žeby prinášala aj náznak odpovede?



Gorimír, júl 2006

pošli na vybrali.sme.sk pošli do vybrali.sme.sk

Zdielať tento článok na Facebooku

čitateľov: 7487   verzia pre tlačiareň

Hľadaj užívateľa podla nicku /zadaj aspoň 2 písmená/:


fotogaléria
May 24, 2015

dsc_2270.jpg / fotky užívateľov

klikni na obrázok pre zväčšenie a popis

čítaj poznámky (0)
napíš poznámku

prezri si archív(612) :

general(140) / ilustračné(153) / zvláštne lokality(214) / fotky užívateľov(105)

vložiť obrázok do galérie



powered by EDGE